Processus stochastiques et systèmes désordonnés, autour du mouvement Brownien
Mathieu Delorme (LPT)

Dans cette thèse, on étudie des processus stochastiques issus de la
physique statistique. Le mouvement Brownien fractionnaire, objet central
des premiers chapitres, généralise le mouvement Brownien aux cas où la
mémoire est importante pour la dynamique. Ces effets de mémoire
apparaissent par exemple dans les systèmes complexes et la diffusion
anormale. L’absence de la propriété de Markov rend difficile l’étude
probabiliste du processus. On développe une approche perturbative autour
du mouvement Brownien pour obtenir de nouveaux résultats, sur des
observables liées aux statistiques des extrêmes. En plus de leurs
applications physiques, on explore les liens de ces résultats avec des
objets mathématiques, comme les lois de Lévy et la constante de Pickands.

Dans un deuxième temps, le modèle phénoménologique d’interfaces élastiques
en milieu désordonné est étudié, dans le cas d’un désordre Brownien. On
s’intéresse aux avalanches, c’est-à-dire à la réponse du système à une
impulsion, et plusieurs distributions d’observables sont calculées
exactement. Ces résultats nouveaux sont obtenus en résolvant une équation
d’instanton déterministe mais non-linéaire qui encode les propriétés
statistiques du modèle.