Systèmes dynamiques : dynamique déterministe et fluctuations

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Contact - Secrétariat de l’enseignement :
Tél : 01 44 32 35 60
enseignement@phys.ens.fr

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Enseignant : Stephan Fauve
Chargés de TD : Adrian Van Kan, Lionnel Djadaojee
ECTS : 6
Langue d’enseignement : anglais
Mots clés : Systèmes dynamiques, instabilités, fluctuations, processus stochastiques
Contrôle : écrit
Examen alternatif Covid-19 : Examen oral

Description

La première partie du cours concerne les systèmes dynamiques déterministes, c’est-à-dire des systèmes régis par des équations différentielles couplées. La plupart des problèmes de dynamique en physique ou dans d’autres disciplines peuvent être modélisés de la sorte. Des comportements dynamiques riches se produisent lorsque les équations sont non linéaires. Contrairement au cas linéaire, les systèmes non linéaires possèdent en général des solutions multiples avec des propriétés qualitatives différentes, par exemple des symétries différentes. La stabilité de ces solutions est modifiée en des points de bifurcation lorsqu’un paramètre de contrôle du système est changé. Nous montrerons que des comportements dynamiques universels existent au voisinage de ces bifurcations, principalement dépendant des propriétés de symétrie. Nous montrerons ensuite comment une séquence de bifurcations successives peut conduire à un comportement dynamique chaotique, c’est-à-dire non prédictible bien que le système soit régi par des règles déterministes.

Dans la seconde partie du cours, le caractère aléatoire sera modélisé en supposant que le système est soumis à des fluctuations externes de propriétés statistiques simples. Nous étudierons l’équation de Langevin et les relations fluctuation-dissipation puis nous montrerons dans quelles limites un système soumis à un bruit peut être modélisé par l’équation de Fokker-Planck ou l’équation maîtresse. Nous considérerons ensuite certains effets du bruit sur les processus d’instabilité, tels que l’amplification des fluctuations au voisinage d’une bifurcation, la compression du bruit ou l’intermittence « on-off ».

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