Groupes et algèbres de Lie, représentations

Accès rapides

Accès rapides

Prochain Séminaire de la FIP :
Accéder au programme

Retrouvez toutes les informations pour vos stages :
Stages L3
Stages M1 ICFP

Actualités : Séminaire de Recherche ICFP
du 16 au 20 novembre 2020 :

Retrouvez le programme complet

Contact - Secrétariat de l’enseignement :
Tél : 01 44 32 35 60
enseignement@phys.ens.fr

↦ Voir en ligne : https://webusers.imj-prg.fr/ david....

Parcours Physique Theorique
Enseignant : David Hernandez
Chargé de TD : Bruno Le Floch
ECTS : 6
Langue d’enseignement  : Anglais
Modalités d’examen : Ecrit

Il n’y a pas vraiment de prérequis, si ce n’est l’algèbre linéaire et général standard
de premier cycle.

Description

La théorie des groupes et de leurs représentations est un sujet central et transverse qui étudie les symétries telles qu’elles apparaissent en mathématiques et dans les sciences en général, notamment en physique. La théorie de Lie (algèbres et groupes de Lie) en particulier a été un thème central en mathématiques depuis ses origines au 19 ème siècle, avec des applications dans diverses branches des mathématiques et de la physique.

Le but de ce cours est de donner une introduction aux concepts et outils classiques de la théorie de Lie, notamment en théorie des représentations. Nous étudierons des exemples remarquables (en particulier pour les applications en physique).

Plan indicatif du cours :

1. Représentations des groupes et des algèbres.
Généralités. Groupes finis et leurs caractères.

2. Groupes et algèbres de Lie de dimension finie
Groupes de Lie, algèbres de Lie.
Exemples fondamentaux, algèbres de Heisenberg.
Algèbres de Lie semi-simples.
Catégories de représentations, représentations irréductibles.
Complète réductibilité.
Structure des algèbres de Lie semi-simples.
Systèmes de racines, groupe de Weyl.

3. Représentations des algèbres de Lie de dimension finie.
Modules de plus haut poids, modules de Verma, catégorie O.
Paramétrisation des représentations simples. Séries de Jordan-Holder. Multiplicités.
Représentations de dimension finie. Structure tensorielle, caractères.

4. Groupes de Lie compacts et leurs représentations.

5. Algèbres de Lie de dimension infinie : exemples fondamentaux.

Références pour le cours (pour commencer, le Fulton-Harris est très bien) :

  • V. Chari and A. Pressley, A guide to quantum groups, Cambridge University Press.
  • P. Etingof, I. Frenkel and A. Kirillov, Lectures on representation theory and Knizhnik-Zamolodchikov equations, Mathematical Surveys and Monographs, 58. American Mathematical Society.
  • W. Fulton and J. Harris, Representation Theory : a first course, Graduate Texts in Mathematics, 129, Springer-Verlag.
  • J. Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory, Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag.
  • V. Kac, Infinite-dimensional Lie algebras, Cambridge University Press.
  • Y. Kosmann-Schwarzbach Groupes et symétries : Groupes finis, groupes et algèbres de Lie, représentations, Editions de l’école polytechnique
  • J-P. Serre, Lie algebras and Lie groups, 1964 lectures given at Harvard University, Lecture Notes in Mathematics, 1500, (2006)
  • S. Sternberg, Group theory and physics, Cambridge University Press.

Accès rapides

Prochain Séminaire de la FIP :
Accéder au programme

Retrouvez toutes les informations pour vos stages :
Stages L3
Stages M1 ICFP

Actualités : Séminaire de Recherche ICFP
du 16 au 20 novembre 2020 :

Retrouvez le programme complet

Contact - Secrétariat de l’enseignement :
Tél : 01 44 32 35 60
enseignement@phys.ens.fr