Algorithmes et applications de la méthode de Monte-Carlo : transition en deux dimensions et échantillonnage parfait
Etienne BERNARD (LPS)

Infos Complémentaires

salle R16 - Département de Chimie - 24 rue Lhomond

mercredi 21 septembre à 14h30

Résumé :

Cette thèse porte sur la méthode de Monte-Carlo ainsi que sur des
applications de cette méthode à la physique statistique.

La première partie concerne l’étude de la transition de phase
liquide-solide à deux dimensions. La nature de cette transition est un
problème de la physique statistique qui a longtemps été débattu, et en
particulier pour le modèle fondamental des disques durs. Dans le but de
traiter ce problème, nous avons développé l’algorithme de Monte-Carlo
dit ``event-chain’’. Notre analyse numérique montre que la transition se
déroule en deux étapes : en augmentant la densité, le système passe de
manière discontinue d’une phase liquide à une phase dite hexatique, puis
de manière continue à une phase solide par une transition de type
Kosterlitz-Thouless. Ces résultats posent une nouvelle base théorique
aux expériences sur les solides bidimensionnels.

La deuxième partie concerne les algorithmes d’échantillonage parfait
utilisant la méthode ``Coupling from the past’’. Ces algorithmes de
Monte-Carlo permettent d’échantillonner des systèmes selon la
distribution exacte désirée, ce qui supprime le problème de la
connaissance du temps de thermalisation d’une chaîne de Markov. Cette
méthode s’est avérée inefficace pour des systèmes physiques où elle
serait utile : les verres de spins à basse température, ou les sphères
dures à haute densité par exemple. Nous avons étudié différents
algorithmes exacts pour ces systèmes. Les résultats obtenus montrent que
cette limitation est due aux transitions vers le chaos des chaînes de
Markov, ces transitions étant d’origine dynamique et non thermodynamique.

Abstract :

This thesis deals with the Monte Carlo method and some of its
applications to statistical physics.

The first part concerns the study of the melting transition in two
dimensions. The nature of this transition is an old problem of
statistical physics, and especially for the fundamental model of hard
disks. A Monte Carlo algorithm, called ``event-chain’’, is developed for
this model and is used to study the melting transition. The results show
that the transition follows a two-step scenario with a hexatic phase
between the liquid and the solid. The solid-hexatic transition is
continuous of the Kosterlitz-Thouless type, and the hexatic-liquid
transition is discontinuous. These results confirm the existence of the
hexatic phase, and pose a new theoretical basis for experiments on
two-dimensional melting transitions.

The second part concerns perfect sampling algorithms using the
``coupling-from-the-past’’ approach. This paradigm of the Markov-chain
Monte Carlo method allows to sample configurations from the exact
desired distribution, and this suppresses the long-standing problem of
accessing the mixing time of a Markov chain. This method is however
difficult to apply to physical systems such as spin glasses at low
temperature or hard spheres at high density. Perfect-sampling algorithms
are studied for these systems. The results show that the limitation of
this method is related to transitions toward chaos of Markov chains.
These dynamical transitions are not caused by thermodynamical changes.

salle R16 - Département de Chimie - 24 rue Lhomond