Géométrie fractale et mouvement brownien.
Bertrand Duplantier (IHP, Paris)

Jeudi 15 juin 2000

La trajectoire d’un mouvement brownien est une courbe continue erratique, non dèrivable, une courbe fractale de dimension de Hausdorff égale à 2. La géométrie brownienne est très riche, et des progrès importants ont eu lieu récemment en géométrie planaire pour de telles courbes aléatoires invariantes conformes, engendrées par des systèmes critiques.

Par exemple, la distribution du potentiel électrostatique près d’un chemin brownien, ou d’une courbe fractale telle que le bord d’un amas de percolation ou d’Ising, s’avère exactement calculable, et donne accès à une décomposition naturelle de la frontière en sous-ensembles géométriques de dimension variable : on dit qu’elle est multifractale. Une relation profonde apparaît alors avec la gravitéquantique.