Lie Groups, Lie Algebras And Representations

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Tél : 01 44 32 35 60
enseignement@phys.ens.fr

Parcours Physique Theorique
Enseignant : David Hernandez
Chargé de TD : Bruno Le Floch
ECTS : 6
Langue d’enseignement  : Anglais
Site web  :

Description

La théorie des groupes et de leurs représentations est un sujet central et transverse qui étudie les symétries telles qu’elles apparaissent en mathématiques et dans les sciences en général, notamment en physique. La théorie de Lie (algèbres et groupes de Lie) en particulier a été un thème central en mathématiques depuis ses origines au 19 ème siècle, avec des applications dans diverses branches des mathématiques et de la physique.

Le but de ce cours est de donner une introduction aux concepts et outils classiques de la théorie de Lie, notamment en théorie des représentations. Nous étudierons des exemples remarquables (en particulier pour les applications en physique).

Plan indicatif du cours :

1. Représentations des groupes et des algèbres.

Généralités.
Groupes finis et leurs caractères.

2. Groupes et algèbres de Lie de dimension finie

Groupes de Lie, algèbres de Lie.
Exemples fondamentaux, algèbres de Heisenberg.
Algèbres de Lie semi-simples.
Catégories de représentations, représentations irréductibles.
Complète réductibilité.
Structure des algèbres de Lie semi-simples.
Systèmes de racines, groupe de Weyl.

3. Représentations des algèbres de Lie de dimension finie.
Modules de plus haut poids, modules de Verma, catégorie O.
Paramétrisation des représentations simples. Séries de Jordan-Holder. Multiplicités.
Représentations de dimension finie. Structure tensorielle, caractères.

4. Algèbres de Lie de dimension infinie : exemples fondamentaux.
Algèbres de Kac-Moody, représentations intégrables.
Algèbres de lacets et extensions centrales.
Algèbres de Virasoro.
Groupes quantiques et équation de Yang-Baxter.

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